センター2015物理第４問Ｂ「ばねの力と弾性エネルギー」

2015.07.21

4B-1

 

物理が苦手な文子
ばねの問題ね。

物理が得意な秀樹
高さhを求めるんだけど、どうすればいいと思う？

物理が苦手な文子
ん〜こういうのがどうしいいか、分からないのよね。

物理が得意な秀樹
できることは限られているよね。そもそもこの小球は静止しているから、どうするかな？

物理が苦手な文子
できそうなことは、力の矢印を描くことかな。

物理が得意な秀樹
まぁ、とりあえず力の矢印を描いてみよう。小球にはどんな力がはたらいているかな？

物理が苦手な文子
重力と、あとはくっついているものから力を受けるのよね。くっついているのは、上のばねと下のばねの２つ。ばねから受ける力は、フックの法則F=kxで求めることができるけど、ばねの伸びは分からないわ。

物理が得意な秀樹
ばねは２つとも自然の長さが\ellなので、図の中に描いてみると何か分かるんじゃないかな。

物理が苦手な文子
こう描いてみると・・・

4B.001

物理が苦手な文子
分かったわ。下のばねは\ell-hだけ縮んでいて、上のばねは\ell-hだけ伸びているんだわ。

物理が得意な秀樹
ばねの伸び、縮みが分かったら、力の矢印を描いてみう！

物理が苦手な文子
まずは重力から。

4B.002

物理が得意な秀樹
これはいいよね。

物理が苦手な文子
次はくっついているばねから受ける力ね。下のばねは縮んでいるから、小球を押しているのね。ということは力の矢印は上向き。ばねの伸びは\ell-hだから・・・

4B.003

物理が得意な秀樹
ここまでは、いいよ。

物理が苦手な文子
上のばねは伸びているから、小球を引いているね。ばねの伸びは\ell-hだから・・・

4B.004

物理が得意な秀樹
いいね。他に小球にはたらいている力はあるかな？

物理が苦手な文子
ばね以外にくっついているものはないから、これで終わりだと思うわ。

物理が得意な秀樹
その通り！力の矢印を描き終わったら、あとはどうする？

物理が苦手な文子
小球は静止しているから力のつりあいの式を立てるのね。上向きを正とすると、

    $$k(\ell-h)+k(\ell-h)-mg=0$$

    $$2k\ell-2kh-mg=0$$

    $$h=\ell-\frac{mg}{2k}$$

物理が得意な秀樹
正解！答えは①だね。じゃあ問５にいこう。

4B-2

物理が苦手な文子
まずはyなんだけど、これもさっきと同じようにばねの伸びを求めて、力の矢印を描けばいいのかな。

物理が得意な秀樹
まぁやってみようよ。

物理が苦手な文子
ばねの自然の長さが\ellだから・・・

4B.005

物理が得意な秀樹
そうだね。

物理が苦手な文子
下のばねはちょうど自然の長さになっているから、小球を押したり引いたりしていないわね。上のばねの伸びはy-2\ellだから・・・

4B.006

物理が得意な秀樹
じゃあまた力のつりあいの式を立ててみようか。

物理が苦手な文子
上向きを正として、

    $$k(y-2\ell)-mg=0$$

    $$y=2\ell+\frac{mg}{k}$$

物理が得意な秀樹
いいね、合ってるよ。ということは答えは④、⑤、⑥のどれかだね。

物理が苦手な文子
次はちょっと難しいわ。何をすれば良いか、分からない。選択肢を見ても長い式ばっかりだし。

物理が得意な秀樹
そうだね。エネルギーを仕事の関係を考えると、手がした仕事Wの分だけ、全体のエネルギーが増えるんだよね。この場合、考えるエネルギーは何かな？

物理が苦手な文子
小球は少し上に上がっているから、重力による位置エネルギーが増えているはずだわ。あとはばねの伸びが変わっているから、その分のエネルギーが変化しているわね。

物理が得意な秀樹
それらを１つずつ考えていけば大丈夫だよ。ちょと図を描いてみるね。

4B.007

物理が苦手な文子
まずは重力による位置エネルギーを考えるね。mghでいいわよね。図を見ると\ell-hだけ上に上がっているから、重力による位置エネルギーは、

    $$mg(\ell-h)$$

物理が苦手な文子
だけ増えていることになるわ。

物理が得意な秀樹
まず１つ終わりだ。次は？

物理が苦手な文子
下のばねを考えてみるわ。弾性力による位置エネルギーは、\frac{1}{2}kx^2だよね。最初ばねの縮みが\ell-hだったのが、伸び縮み０になったので、

    $$\frac{1}{2}k(\ell-h)^2$$

物理が苦手な文子
だけエネルギーが減ったことになるわ。

物理が得意な秀樹
そうだね。減少したということを覚えておいてね。

物理が苦手な文子
最後は上のばねね。ばねの伸びが\ell-hからy-2\ellに変化したので、

    $$\frac{1}{2}k(y-2\ell)^2-\frac{1}{2}k(\ell-h)^2$$

物理が苦手な文子
だけ増えたのね。

物理が得意な秀樹
これで揃ったね。手がした仕事の分だけエネルギーが増加した、という式を立てるとどうなるかな。

物理が苦手な文子
下のばねだけエネルギーが減少することを忘れずに式を立てると、

    $$W=mg(\ell-h)-\frac{1}{2}k(\ell-h)^2$$

    $$+\frac{1}{2}k(y-2\ell)^2-\frac{1}{2}k(\ell-h)^2$$

    $$=mg(\ell-h)+\frac{k}{2}(y-2\ell)^2-k(\ell-h)^2$$

物理が得意な秀樹
正解だ！答えは⑥だね。

コメント

  1. 横田蓮 より:
    2016年4月20日 13:03

    とても分かりやすかったです！
    ありがとうございます‼︎

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