センター2016物理第２問Ａ問２「誘電体と電場」

2016.07.21

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物理が苦手な文子
コンデンサーに誘電体を入れる問題ね。よく見る問題だけど、そもそも比誘電率ってなんなの？

物理が得意な秀樹
まずは真空の誘電率っていうのがあるんだよね。平行板コンデンサーの電気容量が、極板の面積に比例して、極板間距離に反比例するっていう式の、比例定数だね。

    $$C_0=\varepsilon _0 \frac{S}{d} $$

物理が得意な秀樹
誘電体にも物質ごとに誘電率\varepsilonっていう値を持っていて、必ず真空の誘電率よりも大きいんだ。で、物質ごとの誘電率は、真空の誘電率との比で表した方が便利なので、比誘電率\varepsilon _rっていうのを考えるんだ。

    $$\varepsilon _r =\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$$

物理が苦手な文子
どうして便利なの？

物理が得意な秀樹
例えば、極板間が真空のコンデンサー（C_0=\varepsilon \frac{S}{d}）があったとして、極板間に誘電率\varepsilon 、比誘電率\varepsilon _rの誘電体をすき間なく挿入すると、電気容量は

    \begin{eqnarray*}C&=&\varepsilon \frac{S}{d}\\&=&\varepsilon _r \varepsilon _0 \frac{S}{d}\\&=& \varepsilon _r C_0\end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
となるんだ。つまり誘電体を入れると、電気容量が真空の時の\varepsilon _r倍になるっていうことなんだ。
 

2-2-4

物理が苦手な文子
ということは、この図で、(a)の電気容量をC_0とすると、(b)の電気容量はC=\varepsilon _r C_0となるっていうことだ。

物理が得意な秀樹
そういうことだね。極板間の電場の大きさはどう表せるか知ってる？

物理が苦手な文子
極板間には一様な電場ができるのよね。

    $$E=\frac{V}{d}$$

物理が苦手な文子
じゃなかったっけ。

物理が得意な秀樹
その通り。じゃあ、この問題の(a)と(b)ではそれぞれどうなるかな？

物理が苦手な文子
まず(a)はそのままだから、

    $$E_0 =\frac{V_0}{d}$$

物理が苦手な文子
よね。(b)の方は誘電体が入っているから、

    $$E=\frac{V_0}{d}$$

物理が苦手な文子
になるのかな？っていうか、あれ？誘電体は関係ないの？誘電体があってもなくても同じになるわ。誘電体を入れると電場が弱くなるって教わったような気がするんだけど･･･

物理が得意な秀樹
おっ、なかなか分かってるね。だけど理解が中途半端かな。確かに誘電体を入れると電場が弱くなることがあるんだけど、それは「電気量が変わらない場合」という条件があるんだ。

2-2-1

2-2-2

物理が苦手な文子
確かに見たことがあるのはこんな図だったわ。

物理が得意な秀樹
ところがこの問題は、電圧が一定で、電気量が変化するパターンなんだよ。つまり、誘電体を入れた時、電場が弱くならないように電源から電荷が供給されて、電場の大きさは変化しないということになるんだ。

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物理が苦手な文子
なるほどね。次は静電エネルギーね。これはQ=CVと組み合わせて、いくつかの式があるのよね。

    \begin{eqnarray*}U&=&\frac{1}{2}QV\\&=&\frac{1}{2}CV^2\\&=&\frac{Q^2}{2C}\end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
そうだね。どれを使おう？

物理が苦手な文子
この問題は電圧が一定で、電気容量が\varepsilon _r倍になるということなので、
U_0=\frac{1}{2}C_0 V_0^2ね。

    \begin{eqnarray*} U&=&\frac{1}{2}CV_0^2\\ &=&\frac{1}{2}\varepsilon _rC_0V_0^2\\&=& \varepsilon _rU_0 \end{eqnarray*}

物理が苦手な文子
ということで、合わせると答えは②ね。

物理が得意な秀樹
正解！

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