センター2017物理第４問Ａ「円錐面内での運動」

2017.06.23

 

 

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■平面的な図に描き直す

物理が苦手な文子
円錐面ってあんまり見たことがないけど，どんなイメージなの？

物理が得意な秀樹
パーティーのときにかぶる円錐形のとんがり帽子とか，ソフトクリームのコーンみたいな感じだよね。ソフトクリームの「コーン」って，そもそも「円錐」っていう意味だからね。

物理が苦手な文子
へー，そうなの。とうもろこしの「コーン」じゃないんだ。

物理が得意な秀樹
円錐はcone，とうもろこしはcornだね。まぁ，とりあえずその円錐面の内側を小物体がすべり降りるんだね。

物理が苦手な文子
単に斜面をすべり降りる問題と考えていいの？

物理が得意な秀樹
そういうことだよね。そう考えると，よくある問題でしょ。

物理が苦手な文子
でも図が立体的に描かれているので，力の矢印が描きにくいわ。

物理が得意な秀樹
問題にある図に描き込むんじゃなくて，平面的な図に描き直したほうがいいよ。

物理が苦手な文子
やっぱりそうだよね。手前から見た図を描いてみると，こんな感じかな？

物理が得意な秀樹
それでいいね。少し簡単にできる方法もあるんだけど，先に通常のやり方で問いてみよう。

物理が苦手な文子
きっとまずは力の矢印を描くのよね。

物理が得意な秀樹
そうだね。

物理が苦手な文子
重力mgと，あとくっついているのは円錐面だけだから，円錐面から受ける垂直抗力Nね。

物理が得意な秀樹
その２力だけだね。次は重力を斜面方向と，斜面に垂直な方向に分けてみようか。ついでに，角度\thetaがどこか分かるかな。

■θの位置がいつもと違う

物理が苦手な文子
たぶん\thetaはここよね。

物理が得意な秀樹
そうだね。実は，一般的に斜面を滑り降りる問題では，\thetaが水平面とのなす角で与えられるんだけど，この問題は鉛直面とのなす角なんだよね。

物理が苦手な文子
たしかにそうね。なんとなくいつも描いている図と違う感じがしたわ。

物理が得意な秀樹
分解した２つの力の大きさは分かるかな？

物理が苦手な文子
たしか，\thetaとくっついているか，向かい合っているかで分かるのよね。

物理が得意な秀樹
そうだね，\sin \thetaと\cos \thetaの関係がいつもと逆になるんだね。

物理が苦手な文子
これでいいわよね。

物理が得意な秀樹
最後に斜面下向きの加速度と，その向きを正にとって図を描こう。

物理が苦手な文子
これで図は完成？

■図が完成したら，運動方程式

物理が得意な秀樹
完成だ。あとは正の向きの運動方程式を書こう。

物理が苦手な文子
図に合わせて運動方程式を書くと，

    $$ma=mg\cos \theta$$

    $$a=g\cos \theta$$

■加速度が分かったら，等加速度直線運動の式

物理が得意な秀樹
これで加速度が求まったね。あとは，等加速度直線運動の公式を使って，時間を求めよう。どの式を使うかな？

 

物理が苦手な文子
分かっているのは，問題文に「静かに放した」とあるので，v_0=0，距離が\ell，加速度がg\cos \theta，求めたいのが時間tだから，２番めの式ね。

x=v_0t+\frac{1}{2}at^2より，

    $$\ell =0+\frac{1}{2}\times g\cos \theta t^2$$

    $$t=\sqrt{\frac{2\ell}{g\cos\theta}}$$

物理が得意な秀樹
正解だ。答えは⑦だね。

■摩擦がなければ，重力加速度を分解しても良い

物理が苦手な文子
そういえばさっき，簡単な方法があるとかって言ってたわよね。

物理が得意な秀樹
そうだったね。この問題のように，摩擦がない斜面を降りる問題では，斜面方向の加速度は，重力加速度を斜面方向に分解しても良かったんだ。

物理が苦手な文子
えっ，それだけでいいの？今はこの斜面方向の加速度を求めるために，力の矢印を描いて，力を分解して，運動方程式を立てて，加速度を求めたのよ。

物理が得意な秀樹
最初のやり方だと，どんな場合でも対応できるんだ。この重力加速度を分けるやり方は，斜面方向に他の力がはたらいていないときしか使えないんだよ。

物理が苦手な文子
どっちも知っていると便利ね。

物理が得意な秀樹
次の問２にいこう。

 

■やっぱり平面的な図に描き直す

物理が苦手な文子
今度は等速円運動ね。

物理が得意な秀樹
これも図を平面的に描こうか。ただ，さっきと同じように手前から見た図と，上から見た図の２つがあるといいかな。

物理が苦手な文子
なかなか大変ですけど，こんな感じですか？

物理が得意な秀樹
いいね。

物理が苦手な文子
手前から見た図で，力の矢印は重力と，垂直抗力の２つですよね。さっきと同じ。

物理が得意な秀樹
垂直抗力の大きさは変わるけど，重力と垂直抗力の２力っていうのは変わらないね。

■力は加速度の向きに分ける

物理が苦手な文子
次はどうするの？

物理が得意な秀樹
上から見た図に描いてあるけど，等速円運動をしているので，加速度の向きは円の中心方向だよね。なので，円の中心方向にはたらいている力を求めたいんだ。

物理が苦手な文子
そうか，さっきは斜面下方向に加速していたから，斜面下方向の力を求めたのね。今は円の中心方向に加速度を持っているから，円の中心方向の力を求めるのね。

物理が得意な秀樹
ということは，この場合は垂直抗力を分けるんだね。

物理が苦手な文子
こんな感じ？

物理が得意な秀樹
円の中心方向の加速度の大きさは\betaにしておこう。本当はaにしたいけど，aは円運動の半径として，使われているからね。

物理が苦手な文子
加速度があるということは，運動方程式を立てるのね。

物理が得意な秀樹
そうだね。円の中心方向を正として，運動方程式を立ててみようか。

物理が苦手な文子
ma=Fより，

    $$m\beta =N\cos \theta $$

■等速円運動で使われる式の確認

物理が得意な秀樹
等速円運動の加速度の式は覚えてるかな？

物理が苦手な文子
なんとなく，こんな感じかな？

 

物理が得意な秀樹
そうだね。このうち，どれか一つ覚えれば，等速円運動の速さの式で変形できるんだよね。

 

物理が苦手な文子
これを使って，変形すると，\beta =\displaytype \frac{{v_0}^2}{a}より，

    $$m\times \frac{{v_0}^2}{a}=N\cos\theta$$

物理が苦手な文子
こうなるけど，aを求めたいけどNが消えないわね。

物理が得意な秀樹
今度は手前から見た図で，鉛直方向の力のつりあいの式を立てるんだ。

物理が苦手な文子
なるほど。鉛直上向きを正として，力のつりあいの式を立てるわね。

    $$N\sin\theta -mg =0$$

    $$N=\frac{mg}{\sin\theta}$$

物理が得意な秀樹
そうだね。ということは，aが求まるかな？

物理が苦手な文子
えっと，

    $$m\times \frac{{v_0}^2}{a}=\frac{mg}{\sin\theta}\cos\theta$$

    $$a=\frac{{v_0}^2\tan \theta}{g}$$

物理が得意な秀樹
いいね。答えは⑦だ。最後に問３。

 

■向きがわからない

物理が苦手な文子
また立体的な図だけど，今度は平面的な図に描きにくいわ。

物理が得意な秀樹
たしかにそうだね。でもポイントさえわかれば描けるよ。

物理が苦手な文子
ポイントどころか，いろいろと分からないわ。初速度の大きさv_1を与えたみたいだけど，速度の向きもわからないし，点Bでの速度の向きも全くわからないし。

物理が得意な秀樹
向きがわからないということは，向きが関係ない式を使うということだ。

物理が苦手な文子
えっ？どういうこと？

物理が得意な秀樹
今までのように力の矢印を描くときは，向きが大切だよね。ということは，今は力は関係ないね。

物理が苦手な文子
力が関係ないということは，あとは何ができるかな？

物理が得意な秀樹
高さが変わることで，速さが変わるんだから…

物理が苦手な文子
高さと速さの関係といえば，「力学的エネルギー保存の法則」かな？

物理が得意な秀樹
そうだよ。なので，高さと速さがわかればいいので，高さと速さが分かる図が描けるかな。

物理が苦手な文子
そこがポイントね。こんな感じ？

物理が得意な秀樹
\ell _1と\ell _2は斜面方向の高さなので，鉛直方向の高さh_1とh_2は分かるかな？

物理が苦手な文子
これは簡単。

    $$h_1=\ell _1 \cos \theta$$

    $$h_2=\ell_2 \cos \theta$$

物理が得意な秀樹
いいね。それでは，力学的ネルギー保存の法則を使って式を立ててみようか。

物理が苦手な文子
Oの高さを基準として，AとBで力学的エネルギー保存の法則を立てるわ。

Aの力学的エネルギー=Bの力学的エネルギー

    $$\frac{1}{2}m{v_1}^2+mgh_1=\frac{1}{2}m{v_2}^2+mgh_2$$

    $${v_2}^2={v_1}^2+2g(h_1-h_2)$$

    $${v_2}^2={v_1}^2+2g(\ell_1-\ell_2)\cos\theta$$

    $$v_2=\sqrt{{v_1}^2+2g(\ell_1-\ell_2)\cos\theta}$$

物理が得意な秀樹
正解だ。答えは④だね。

 

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