センター2019物理第３問Ｂ「音源が単振動するドップラー効果」

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三角関数のグラフを確認する

物理が苦手な文子
求めたいのは図５のグラフの関係式ね。コサイン（cos）のグラフに見えるけど，選択肢はすべてサイン（sin）の関係式だわ。
物理が得意な秀樹
そうなんだよね。でもまずはコサイン（cos）で表してみようか。縦軸がxで，振幅がaで，角度が\thetaだとすると，どんな式になるかな。
物理が苦手な文子
角度が\thetaでいいの？だったら，x=a\cos\thetaでしょ。でも問題文のどこにも\thetaが無いわよ。
物理が得意な秀樹
そうだね。グラフの横軸は時刻なので，時刻tと角度\thetaの関係が分かれば答えはでそうだよね。そこで，角振動数\omegaを使うんだ。
物理が苦手な文子
さらに新しい文字を使うの？
物理が得意な秀樹
そうなっちゃうね。\omegaは単振動の分野では「角振動数」と呼ぶけど，円運動の分野では「角速度」って呼ぶんだ。どちらも単位は「〔rad/s〕ラジアン毎秒」で，分野によって呼び方が違うだけで物理的には同じなんだ。だから使える公式も同じだよ。確認しておこう。
物理が苦手な文子
なるほど。「コサインオメガティー（cos\omega t）」という響きは聞いたことがあるわ。
物理が得意な秀樹
そうでしょ。さらに円運動や単振動で使う公式を使って，角振動数\omegaを周期Tを使って表すと，

グラフを移動する

物理が苦手な文子
少し選択肢に近づいてきたわね。でも選択肢はサイン（sin）なのよね。
物理が得意な秀樹
次は問題のグラフとサインのグラフを比較してみよう。この赤いグラフを式で表すとどうなるかな？
物理が苦手な文子
サイン（sin）のグラフだから，こうね。
$$x=a\sin\frac{2\pi}{T}t
物理が得意な秀樹
そうだね。そのグラフを移動して，コサイン（cos）のグラフにするんだ。
物理が苦手な文子
サイン（sin）のグラフを左に\frac{1}{4}Tだけ移動するとコサイン（cos）になるわね。
物理が得意な秀樹
ただ，\frac{1}{4}Tというのは時間だよね。なので，時間を左に動かすのを間違えないでね。
物理が苦手な文子
時間を動かすって，こういうこと？
$$x=a\sin\frac{2\pi}{T}\left( t+\frac{1}{4}T\right)
物理が得意な秀樹
そう，あとはカッコの中に入れよう。
物理が苦手な文子
こういうことね。
$$x=a\sin\left( \frac{2\pi t}{T}+\frac{\pi}{2}\right)
物理が得意な秀樹
そうだね。答えは④だ。

グラフと音源の運動を対応させる

物理が苦手な文子
ドップラー効果では，近づいてくるときに音は高く聞こえるのよね。
物理が得意な秀樹
その通り！なので，グラフと音源の位置関係を確認しておこう。
物理が苦手な文子
分かりやすくするために色を付けたのね。ということは，一番近いピンク色のSのときが音が高いのね。
物理が得意な秀樹
いやいや違うよ。近づいてくる速さが速いときに出した音が高く聞こえるんだ。
物理が苦手な文子
そうか，単振動での両端は速さが０だったわね。真ん中が一番速いのね。
物理が得意な秀樹
その通りだ。速さが最大で，近づいてくるのか遠ざかるのかはグラフで確認しよう。
物理が苦手な文子
Pはピンクから緑に動く途中なので左向きで，Rは緑からピンクに動く途中だから右向きということね。近づいているのはRのときね。
物理が得意な秀樹
そういうことだね。答えは③だ。
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