センター2019物理第４問Ｂ「糸で吊るされた小球の円運動」

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グラフに対応する式を立てる

物理が苦手な文子
これは，下がってくれば速くなるんだから，だんだん運動エネルギーは増加するわよね。①か③か⑤ね。直線なのか曲線なのかはどうすればいいかな？
物理が得意な秀樹
やっぱり式を立ててみないとわからないかな。とくに曲線の場合，下に凸の③になるか，上に凸の⑤になるのかは難しいからね。
物理が苦手な文子
でも曲線だとすれば，徐々に速くなるんだから③じゃないかな。
物理が得意な秀樹
まぁ，式を立ててみようよ。どうすればいいかな。
物理が苦手な文子
式を立てるんならたぶん力学的エネルギー保存則ね。でもどうすればいいかな。図のように角度が\alphaのときに落下した高さをxとしてみればいいかな。
物理が得意な秀樹
そうだね。式を立ててみよう。
物理が苦手な文子
力学的エネルギー保存則より，

    \begin{eqnarray*}mgx&=&\frac{1}{2}mv^2\\v&=&\sqrt{2gx}\end{eqnarray*}

無理関数になるの？
物理が得意な秀樹
「速さ」じゃなくて力学的エネルギーだね。
物理が苦手な文子
そうか。じゃあ運動エネルギーをKとすると，

    \begin{eqnarray*}mgx=K\end{eqnarray*}

比例関係だから①が答え？
物理が得意な秀樹
グラフの横軸は角度\alphaだよ。
物理が苦手な文子
また間違えた。ということは，図からx=l\sin\alphaだから，

    \begin{eqnarray*}K=mgl\sin\alpha \end{eqnarray*}

となるから，三角関数なのね。答えは⑤ね。
物理が得意な秀樹
そうなんだよ。ちゃんと式を立てるとどんな曲線になるか分かるよね。

運動方程式を立てる

物理が苦手な文子
糸の張力を求める問題は，前にもやったことがあるわ。力の矢印を描いて，運動方程式を立てるのよね。
物理が得意な秀樹
その通り！ただ，運動方程式を立てるには速さを求めておく必要があるから，まずは\beta＝90°のときの速さv_1を求めておこう。
物理が苦手な文子
最初の位置と\beta＝90°で力学的エネルギー保存の式を立てればいいわね。

    \begin{eqnarray*}mga&=&\frac{1}{2}mv_1^2\\v_1&=&\sqrt{2ga} \end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
運動方程式で使うのはv_1^2だから２乗のままでも良かったけど，まぁいいか。それじゃあ運動方程式を立ててみようか。
物理が苦手な文子
まず小球にはたらく力の矢印を描くと，
物理が得意な秀樹
そうだね。今小球は円運動をしているから，円の中心方向つまりQの方向の運動方程式を立てればいいね。
物理が苦手な文子
ということは，円運動の半径がl-aだから，

    \begin{eqnarray*}m\frac{v_1^2}{l-a}&=&T\\m\frac{2ga}{l-a}&=&T\\T&=&\frac{2amg}{l-a} \end{eqnarray*}

物理が得意な秀樹
その通り。答えは⑥だ。
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