センター2016物理第４問Ａ「力学的エネルギー保存と円運動」

2016.07.21

4A-1

物理が苦手な文子
あんまり見かけない図だけど、問題を読む限り力学的エネルギー保存の法則で計算ができそうな気がするわ。

物理が得意な秀樹
鋭いね。壁に沿って鉛直上方に上がっていくっていう問題は僕も見たことないけど、考え方は難しくないね。力学的エネルギー保存の法則を使うときに大切なのは、どの点とどの点で力学的エネルギーが保存されているのかを、しっかりと確認することだね。

物理が苦手な文子
この問題では点Ｏと点Ａよね。

物理が得意な秀樹
「点Ｏでの力学的エネルギー」＝「点Ａでの力学的エネルギー」という式を立てれば良いんだ。ところで確認だけど、力学的エネルギーって何？

物理が苦手な文子
えっと、確か、「運動エネルギーと位置エネルギーの和」ね。

物理が得意な秀樹
そうだね。そもそも「和」なんだよね。それと、高校では位置エネルギーが何種類か出てくるね。

物理が苦手な文子
この問題では重力による位置エネルギーだけね。

物理が得意な秀樹
そうだね。じゃあ、力学的エネルギー保存の法則の式を立ててみようか。そうそう、重力による位置エネルギーの基準を決めてからだね。

4A-3

物理が苦手な文子
重力による位置エネルギーの基準は点Ｏでいいわよね。そうすると、点Ａの高さはR+hになるので、

    $$\frac{1}{2}mv_0^2+mg\times 0=\frac{1}{2}mv_A^2+mg(R+h)$$

    $$v_A^2=v_0^2-2g(R+h)$$

    $$v_A=\sqrt{v_0^2-2g(R+h)}$$

 

物理が得意な秀樹
そうだね。答えは⑥だ。次は問２。

4A-2

物理が苦手な文子
点Ａを通過するっていう条件がよく分からないわ。

物理が得意な秀樹
そうだね。良くある問いなんだけど、式で考えるのは苦手な人が多いね。点Ａを通過するっていうのは、途中で壁から離れずに、点Ａでも天井に接触しているっていうことだよね。

4A-4

物理が苦手な文子
そこまでは分かるわ。でもその「接触している」っていう条件をどうやって式にするの？

物理が得意な秀樹
簡単だよ。天井から受ける垂直抗力が０以上であれば良いんだ。つまり、接触していれば垂直抗力が存在するっていうことだね。一般的に力の矢印を描くときも、接触しているから垂直抗力を描くでしょ。

物理が苦手な文子
なるほどね。点Ａでの垂直抗力≧０だと点Ａを通過するっていうことになるのね。ということは、まず点Ａでの力の矢印を描かなきゃダメね。

物理が得意な秀樹
描いてみようか。

物理が苦手な文子
まず重力と、天井からの垂直抗力、この垂直抗力は天井から受けるんだから、下向きで良いのよね。

4A-5

物理が得意な秀樹
そうだよ。なんか変な感じがするかもしれないけど、間違いなく鉛直下向きだ。

物理が苦手な文子
あとは・・・無いのかな。

物理が得意な秀樹
そうだね。重力と垂直抗力の２力だけだね。

物理が苦手な文子
下向きの２力だけだったら、落ちちゃうんじゃない？

物理が得意な秀樹
そんな感じがするかもしれないけど、力の向きと運動の向きは直接は関係ないんだよ。だらか力が下向きで、運動の方向が左向きでも何の問題もないんだね。力と関係があるのは加速度の向きだよ。運動方程式m\vec{a}=\vec{F}はそのことを表しているね。というわけで、力の矢印を描いたら、運動方程式だ。まずは加速度の向きはどっちかな？

物理が苦手な文子
今の話の流れだと、加速度の向きと力の向きには関係があるので、加速度も下向きでしょ。

4A-6

物理が得意な秀樹
そうだね。そもそも、点Ａまでは円運動をしているので、円の中心方向が加速度の向きなんだ。つまり、下向きだね。

物理が苦手な文子
そうとも考えられるのか。なるほどね。じゃあ、下向きを正として運動方程式を立てるよ。 

    $$ma=mg+N$$

物理が苦手な文子
円運動なので、a=\frac{v^2}{r}を使って、

    $$m\times\frac{v_A^2}{R}=mg+N$$

物理が苦手な文子
N\geqq 0であればよいので、v_Aが最小となるのはN=0のとき。つまり、 

    $$m\times\frac{v_A^2}{R}=mg+0$$

    $$v_A^2=gR$$

    $$v_A=\sqrt{gR}$$

 

物理が得意な秀樹
正解！答えは②だ。

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